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 A quoi sert la factorisation ? 

Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit.
Cela sert lorsqu’il est plus simple de calculer un produit plutôt qu’une somme.
Un usage courant, connu de vous avant même de connaître le mot « factorisation » est la factorisation utilisée dans le calcul mental : pour calculer 217 × 23 + 183 × 23, il est plus simple de factoriser :
217 × 23 + 183 × 23 = (217 + 183) × 23 = 300 × 23, calcul qu’on peut  plus aisément effectuer mentalement que le calcul donné à faire.

Voici un autre exemple : si on doit calculer l’aire de la surface comprise entre deux disques concentriques, l’un de 25 cm de rayon et l’autre de 15 cm de rayon, comme sur la figure ci-contre, on calculera la différence des aires de chacun des deux disques :
   A = π × R² - π × r² = π × 25² - π × 15²
Il faudra donc calculer d’abord chacun des deux carrés, les multiplier par π ou une valeur approchée de π, puis effectuer la soustraction.
Si, par contre, on remarque le facteur commun π, on obtient :
A = π × ( 25² - 15² )
C’est déjà mieux, mais il faut encore calculer le carré de 25, et celui de 15 (à moins qu’on les connaisse par cœur !).
Si on remarque alors qu’on a une différence de deux carrés, et si on sait que
 a² - b² = ( a – b ) ( a + b ), cela devient :
A = π × ( 25 – 15 ) × ( 25 + 15 ) = π × 10 × 40 = 400 π
On en restera là si on veut la valeur exacte ou on prendra une valeur approchée de π si on vaut une valeur approchée du résultat.
En prenant π ≈ 3,14, on obtient assez facilement A ≈ 1256 cm².

Un usage très important des factorisations en algèbre est la résolution de certaines équations.
Lorsqu’on a transformé une équation  de sorte qu’elle se présente comme
A(x) = 0, si on peut écrire A(x) sous la forme d’un produit, on aura beaucoup avancé car on connaît la propriété « pour qu’un produit soit nul, il suffit que l’un de ses facteurs soit nul »
Ainsi, si A(x) peut s’écrire B(x)×C(x), pour que A(x) = 0 il suffira de trouver une condition pour que soit B(x) = 0, soit C(x) = 0.
Un exemple :
Résoudre l’équation  9x² = 49 n’est pas immédiat (on peu essayer en tâtonnant avec x = 1 ou x = 2 etc., cela ne « marche » pas.
Essayons la méthode proposée :
Dans un premier temps, on transforme l’équation de sorte qu’elle ait la forme A(x) = 0, cela donne : 9x² - 49 = 0  
Puis on remarque que A(x) est ici une différence de deux carrés, donc on peut factoriser, et cela donne (3x – 7) × (3x + 7) = 0, nous tenons les facteurs nommés plus haut  B(x) et C(x).
Pour que cette égalité soit vraie, il suffit que soit 3x – 7 = 0 soit vraie, soit  3x + 7 = 0  soit vraie, c’est-à-dire qu’il suffit de résoudre chacune de ces deux équations du premier degré, ce que nous savons bien faire.
3x – 7 = 0 a pour solution 7/3  et  3x + 7 = 0 a pour solution – 7/3.
 Ainsi l’équation  9x² = 49  a deux solutions 7/3 et -7/3.  Vérifiez-le ! 

Vous aurez bien d’autres occasions d’utiliser la factorisation en faisant des mathématiques.