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de l'IREM d'AIX-Marseille

Deux voitures partent en même temps de deux villes A et B distantes par exemple de 400 km; l’une roule à la vitesse de 200 km/h, l’autre à 180 km/h.
Quand et où les deux voitures se rencontreront-elles?
  

  
Nous nous sommes mis d’accord sur plusieurs points :

• Ce problème est en rapport avec le programme de 4° relatif à l’étude de la vitesse moyenne dans le cadre du travail sur la proportionnalité.

• Il faudrait trouver une méthode générale de résolution de ce problème, pour ne pas avoir à reprendre la réflexion à zéro à chaque fois.

• A partir des savoirs dont dispose M (ceux attendus d’un élève de quatrième), la « formule » cherchée sera une formule de résolution graphique.

• Cette formule devrait être exprimée de manière qu’avec les renseignements donnés par l’énoncé (distance entre les villes, vitesse de chaque véhicule), la résolution soit immédiate, et ne nécessite pas une compréhension du « pourquoi ?».

• L’utilisateur de cette formule doit connaître le vocabulaire associé aux vitesses et aux représentations graphiques, les unités de durée, de distance et de vitesse. Si on ne peut pas utiliser ce vocabulaire, les consignes ne seront pas suffisamment explicites.

• On s’inspire des représentations graphiques utilisées en géographie, où on peut représenter plusieurs données sur un même graphique.

   Voici une réponse, telle que nous l’avons élaborée : 

Ø      Dans un repère orthogonal, placer en abscisse les distances en km, et en ordonnée les durées en h.

Ø      Sur ce repère,  placer à l’origine des abscisses, le point représentant la ville A, et placer sur cet axe, le point représentant la ville B, à la bonne distance de A.

Ø      A partir de ce point B, tracer un « deuxième » axe des ordonnées, avec les mêmes graduations que le premier.

Ø      Ainsi, ce qui concerne le véhicule qui part de A se lira de gauche à droite (comme d’habitude), mais, pour ce qui concerne le véhicule qui part de B, on utilisera une deuxième graduation de l’axe des abscisses en prenant cette fois le point B pour origine, et en allant de droite à gauche.

Ø      Pour le véhicule qui part de A, à la vitesse V₁ km /h, placer le point M d’abscisse V₁ (pour V₁ km) et  d’ordonnée  1(pour 1h). Tracer alors la demi-droite [AM).

Ø      Pour le véhicule qui part de B, à la vitesse V₂ km/h, placer le point N d’ordonnée 1 (pour 1 h) ,et d’abscisse V₂ (pour V₂ km) mais en utilisant la graduation de droite à gauche, d’origine B. Tracer alors la demi-droite [BN).

Ø      Les deux demi-droites [AM) et [BN) se coupent en un point P. Ce point nous renseigne sur la rencontre entre les deux véhicules :  l’ordonnée de P nous donne la durée écoulée depuis l’instant du départ des deux véhicules ; l’abscisse de P nous donne la distance à la ville A si on lit de gauche à droite, ou à la ville B si on lit de droite à gauche.

 Remarque : comme cette formule se veut générale, pour traiter ce type de problèmes et non un cas particulier, elle peut être difficile à comprendre, il faut l’appliquer mot à mot sur des exemples différents.
Voici la formule appliquée au cas proposé dans la question de l’élève:
AB = 400 km
V₁ = 200 km/h
V₂ = 180 km/h
On a pris une graduation pour 100 km sur l’axe des abscisses et une graduation pour 1h sur l’axe des ordonnées. 

On lit les coordonnées du point P (2,1 ; 1,1) dans le repère d’origine A ; cela signifie que la rencontre se produit à 210 km de la ville A (2,1 × 100 = 210) et donc à 190 km de la ville B (400 – 210 = 190) et 1h 6min après leur départ (1,1 × 60 min = 66 min = 1h 6min).