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 Les nombres premiers 

Rappel:

Exemples: 5 est premier car il n'est divisible que par 1 et  5 ( lui même).  
12 n'est pas premier car il est divisible par 1, 2, 3, 4, 6 et 12 soit 6 diviseurs.

Remarques: 1 n' est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur: lui même. 
                 0 n'est pas premier car tous les nombres sauf lui même le divisent.  

Pourquoi le terme "Premier" ? 

Car les nombres premiers "produisent" tous les autres.
Tout nombre entier non premier s'écrit de manière unique comme le produit de nombres premiers. 

Exemple:  6 n'est pas premier et on a               6 =( 1 x) 2 x 3  

Comment savoir si un nombre est premier ou non ? 

·         La méthode classique consiste à vérifier si le nombre est divisible par 2 puis par 3, 5, 7 etc.
On utilise les règles de divisibilité.  

Exemple: 192423 n'est pas divisible par 2 car il n'est pas pair.  
Cherchons s'il est divisible par 3. 
              Pour cela calculons la somme de ces chiffres: 1 +9+2+4+2+3 =24 qui est un nombre divisible par 3 donc 192423 est divisible par 3.
192423 n'est pas un nombre premier.  

·        En août 2002, une équipe de trois chercheurs indiens a mis point un algorithme de 13 lignes qui permet de tester si un nombre est premier ou non.
Le temps de calcul est raisonnable de quelques heures à quelques jours à la main ? à l’ordinateur ?. 

Comment connaître la liste des nombres premiers? 

Les anciens grecs ont trouvé une méthode il y a plus de 2000 ans grâce à Eratosthène un philosophe et savant grec.  

Le crible d'ERATOSTHENE (284-192 av.J.-C.)  

Comment dresser la liste des nombres premiers compris entre 1 et 100? 

Méthode 

Dans la liste des entiers compris entre 1 et 100, dans le tableau ci-dessous: 

                               - éliminer le nombre 1 car il n'est pas premier.
                               - éliminer  tous les multiples de 2, sauf 2.
                                               Tous ces nombres sont divisibles par 2, donc pas premiers. Le premier entier non supprimé est 3, qui est premier.

                               - éliminer tous les multiples de 3, à partir de 3²=  9
                               ( car 3x2 a déjà été supprimé).
                               Le premier entier restant est 5, qui est premier. 

                               - éliminer  les multiples de 5 restants à partir de 5²=  25
                                (les précédents multiples ont été supprimés)
                               Le plus petit entier restant est 7, qui est premier. 

                               - éliminer les multiples de 7 restants, à partir de 7²=  49.
                               Le prochain entier premier est 11, mais 11²=  121 >100.
                               Il ne reste plus de multiples de 11 dans le tableau. 

                               - entourer en rouge les nombres restant dans le tableau ;
                               ce sont tous des nombres premiers.

    Quelques curiosités 

·         Le nombre 357 686 312 646 216 567 629 137 est un nombre premier.  
Si on supprime autant de chiffres qu'on le souhaite au début à gauche de ce nombre, il reste premier
Ce nombre a été trouvé par Chris Caldwell. 

·         Le nombre 73 939 133 est aussi un nombre premier.
Quand on lui retire des chiffres à droite il reste premier. 

·         Le nombre 1 023 456 987 896 543 201 est le plus petit nombre premier palindrome ( c'est à dire qui se lit de la même façon de droite à gauche et de gauche à droite) qui contient tous les chiffres de 0 à 9. Ce nombre a été découvert en 1980 par un certain L. Nelson. 

Quelques propriétés  

1.        Euler et les nombres premiers 

Leonhard Euler (1707-1783) a démontré qu'il existait une infinité de nombres premiers et a cherché des expressions donnant des nombres premiers. Sans parvenir à une formule générale , il a découvert avec d'autres mathématiciens des "familles" de nombres premiers.  
Exemple:  

Nombres de la forme:                       n² – n + 41  

 Pour tous les entiers de 0 à 40,      n² – n + 41 est un nombre premier.

Mais pour n = 41 ,le nombre n² – n + 41 n'est plus premier.
(on peut vérifier qu'il est divisible par 41)  

2.       Les nombres de Fermat  

Pierre de Fermat (1601- 1665) pensait que pour tout entier n le nombre était  premier. 

Ce résultat est vrai pour n = 0, 1 , 2 , 3.
Mais par exemple pour n = 5, le nombre obtenu est divisible par 641 donc il n'est pas premier.
Il a été même prouvé que pour n compris entre 5 et 17, le nombre  n'était pas premier. 

3.       Les nombres de Mersenne  

L'abbé Marin Mersenne (1588-1648) pensait que les nombres de la forme  étaient premiers lorsque n était lui même un nombre premier. 

Ceci est en fait vrai pour n = 2, 3, 5,  7. 

Mais pour n = 11, le nombre obtenu 2047 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 23. 

En revanche pour n= 13, 17, 19, le nombre  est à nouveau un nombre premier. 

Le nombre premier 19 en particulier  

Divisibilité par 19 

Un nombre n'est divisible par 19 que lorsque le nombre obtenu en ajoutant le chiffre de ses dizaines, au double du chiffre de ses unités, est divisible par 19. 

Exemple: 57 est un nombre divisible par 19 car  est divisible par 19.  

Références 

.       Sciences et vie junior : octobre 2002 

.       Le dictionnaire Penguin des nombres curieux . David Wells ( Éditions Eyrolles) 

.       Oh les maths! Yakov Perelman  (Editions Dunod)